Довбыш А.Ф. родился в 1900 году в Полтаве. Окончил профессиональную школу, затем – училище при паровозостроительном заводе Гартмана и работал на заводе.
В 1917 году вступил в РСДРП(б). В годы Первой мировой войны, при подходе немцев к Луганску вступил в Луганский партизанский отряд (позднее – I Луганский Коммунистический полк). В бою был тяжело ранен.
С 01.04.1921 по 23.08.1924 – работал начальником уголовного розыска Луганской уездной милиции. С конца августа 1924 года и по декабрь 1929 года – начальник милиции Луганского округа.
Возглавляя Луганскую милицию, Довбыш заложил прочный фундамент в дело борьбы с преступностью, создавая организационные, кадровые, воспитательные и материально-технические условия её работы. Использовались научные методы в раскрытии уголовных преступлений. Проводились тактические занятия с милиционерами. Он уделял большое внимание проблемам борьбы с беспризорностью и преступностью несовершеннолетних. Для беспризорников, по инициативе Довбыша, при милиции была создана школа «Юных спартаковцев», где детей обучали грамоте, верховой езде, стрельбе из боевого оружия. Александром Федоровичем была организована учебная команда, которую возглавил активный участник борьбы с бандитизмом в 1920-е г.г. Шуленин М.А.
По инициативе Довбыша А.Ф. при окружной милиции был создан показательный музей, где работники уголовного розыска и других служб получали необходимые навыки борьбы с преступностью.
В ходе реорганизации органов местной власти, должности начальников окрадминотделов и окрмилицией были объединены, в следствие чего с конца декабря 1928 года должность Довбыша звучала так: начальник окружного административного отдела и окружной милиции.
В 1929 году, в связи с 10-летием создания милиции на Украине, Довбыш был награжден орденом Трудового Красного Знамени, а возглавляемая им Луганская окружная милиция за успешную борьбу с бандитизмом и преступностью, в числе трёх лучших, была награждена Красным знаменем.
В самом начале января 1930 года Довбыш был избран председателем Луганского городского совета.
В сентябре 1931 года Довбыша переводят в Одессу на должность заместителя председателя облисполкома. Последняя его должность – председатель Одесского горисполкома.
30.07.1937 Довбыша оговаривают и арестовывают по обвинению в контрреволюционной и троцкистской деятельности. 24.11.1937 он был расстрелян.
28.05.1957 Военной коллегией Верховного суда СССР приговор был отменен, уголовное дело за отсутствием состава преступления прекращено. Довбыш А.Ф. реабилитирован посмертно.